0 引言
       假設(shè)盲源分離的源信號個(gè)數(shù)為J，接收傳感器的個(gè)數(shù)為R，盲源分離可以分為超定盲源分離（J≥R）和欠定盲源分離（J＜R）兩種情況。大多數(shù)盲分離算法都假設(shè)接收傳感器個(gè)數(shù)不少于源信號個(gè)數(shù)，然而在實(shí)際應(yīng)用中，接收傳感器個(gè)數(shù)往往有限，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)接收傳感器小于接收源信號個(gè)數(shù)的欠定混合情況（Underdetermined Blind Source Separation，UBSS）。欠定盲源分離一般分為兩步：(1)分離混合矩陣；(2)恢復(fù)源信號。本文只考慮對混合矩陣的估計(jì)。
       針對欠定盲源分離問題，大多數(shù)文獻(xiàn)提出的算法是將觀測信號在時(shí)域或頻域稀疏化，這勢必會(huì)產(chǎn)生龐大的計(jì)算量，并且應(yīng)用范圍局限于觀測信號和源信號數(shù)量較少的情況?？紤]到源信號一般均滿足相互獨(dú)立和具有時(shí)間結(jié)構(gòu)等特性，L.De Lathauwer提出了二階欠定盲辨識算法(Second-order Blind Identification of Underdetermined Mixtures，SOBIUM)[1]，該方法不要求源信號在時(shí)域或變換域是稀疏的，通過對觀測信號的時(shí)延協(xié)方差矩陣組成三階張量直接進(jìn)行平行因子分解實(shí)現(xiàn)對混合矩陣的估計(jì)。TICHAVSKY P在SOBIUM的基礎(chǔ)上提出了加權(quán)欠定混合矩陣盲分離算法[2]，該算法通過加權(quán)張量分解來完成混合矩陣的估計(jì)，提高了分離信號的信干比，但是SOBIUM的迭代收斂時(shí)間較長，而且可能產(chǎn)生局部收斂。
       針對以上問題，本文在SOBIUM方法的基礎(chǔ)上，加入了增強(qiáng)線搜索算法（Enhanced Line Search，ELS) 。ELS可以顯著改善最小二乘法的性能，降低局部收斂的風(fēng)險(xiǎn)，更重要的是減少了迭代次數(shù),并且復(fù)雜度不高。
1 欠定盲分離與PARAFAC分解
1.1 瞬時(shí)欠定盲源分離模型
       瞬時(shí)混合模型下的欠定盲源分離，其含噪混合模型為：
       X(t)=AS(t)+N(t)    t=1，…，T                                                  (1)
       其中，X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xR(t)]T為R維接收信號矢量，A表示一個(gè)未知的J×R的混合矩陣，S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sR(t)]T為R維源信號矢量，N(t)=[n1(t)，…，nR(t)]T為R維噪聲矢量，(*)T代表轉(zhuǎn)置。在噪聲不存在或者可以忽略不計(jì)的情況下，式(1)可以化簡為：
       X(t)=AS(t)(2)
1.2 PARAFAC分解
       平行因子(Parallel Factor，PARAFAC)分析又叫標(biāo)準(zhǔn)分解，是三面或更高面陣低秩分解的總稱。平行因子分解在多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮著有廣泛的作用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了化學(xué)計(jì)量學(xué)。平行因子分析在信號處理和通信領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)域和子空間域[1-2]表現(xiàn)出良好的實(shí)用性,觀測數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)換為張量形式進(jìn)行運(yùn)算。下面給出關(guān)于平行因子的定義：
       定義1：若矩陣A的任意kN個(gè)列線性獨(dú)立,則最大kN的值稱之為矩陣A的Kruskal秩,簡稱k秩。
       定義2：如果一個(gè)張量X∈RI×J×K等于三個(gè)向量a，b，c的外積，則這個(gè)張量的秩為1。
       定義3：一個(gè)三階張量X∈RI×J×K可以寫成秩為1的張量的最小數(shù)量的線性組合，叫作平行因子分解。這一最小數(shù)量(源信號數(shù)N)等于張量X的秩(可用于對源信號數(shù)的估計(jì))即：

       式中ar、br、cr分別代表矩陣A∈CI×R、B∈CJ×R和C∈CK×R的第r列。其中xijk=ai bj ck，i=1，…，I，j=1，…，J，k=1，…，K。
平行因子分解的矩陣模式可以寫為：
       X(1)=(B⊙C)AT，X(1)∈CJK×I
       X(2)=(C⊙A)BT，X(2)∈CKI×J
       X(3)=(A⊙B)CT，X(3)∈CIJ×K(4)
       平行因子的唯一性在文獻(xiàn)[3-5]中進(jìn)行了研究，可以總結(jié)為下面的定理：
       定理1：如果滿足
       kA+kB+kC≥2R+2(5)
       則平行因子分解唯一。kA、kB、kC分別代表矩陣A、B、C的秩。R為源信號的個(gè)數(shù)。
       用平行因子分解解決欠定盲分離混合矩陣問題時(shí)，源信號個(gè)數(shù)J與接收傳感器最大個(gè)數(shù)Rmax的關(guān)系如表1所示。

1.3 PARAFAC分解估計(jì)欠定混合矩陣
       若源信號為零均值且互不相關(guān)的非平穩(wěn)信號，那么源信號在t時(shí)刻的二階自相關(guān)矩陣可表示為：

       式中DN=Est s■■是塊對角陣，n=1，…，N，N是分塊的個(gè)數(shù)，矩陣A稱為分塊成型矩陣。式(3)中時(shí)間延時(shí)?子n可以為零，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。
    將矩陣組{RN}轉(zhuǎn)為(d，d，M)維的三階張量形式：

       其中θ代表一個(gè)影響矩陣A和D的所有元素的參數(shù)向量。

       式中R代表張量，R為源信號的數(shù)目，⊙表示張量的外積，{an}和{dn}分別為A和D的列向量，上標(biāo)*代表共軛轉(zhuǎn)置。
2 加權(quán)增強(qiáng)最小二乘法
2.1 交替最小二乘法算法
    張量的標(biāo)準(zhǔn)分解通常使用三線性交替最小二乘（Alternating Least Squares，ALS）算法實(shí)現(xiàn)。迭代過程中的代價(jià)函數(shù)為：

       ||·||_F表示Frobenius矩陣范數(shù)。ALS的目標(biāo)是在每一步迭代中，使張量R與它的當(dāng)前估計(jì)值的差的范數(shù)最小。用于平行因子分析模型擬合的 ALS 過程即在固定上次迭代獲取的部分矩陣估計(jì)值基礎(chǔ)上, 估計(jì)其他矩陣, 該交錯(cuò)映射形式的最小二乘回歸過程循環(huán)下去, 直至收斂。矩陣A、B和C的估計(jì)可以表示為：

其中上標(biāo)“+”代表Moore-Penrose偽逆。
2.2 增強(qiáng)的線搜索（ELS）
       通常在數(shù)據(jù)量非常大，或當(dāng)兩個(gè)因素幾乎共線時(shí)，ALS的收斂性是非常緩慢的[6]。壓縮和線搜索是應(yīng)對收斂慢問題的兩種解決方案。本文采用增強(qiáng)線搜索來加快ALS：

上式中上標(biāo)(k)、(k-1)、(k-2)分別代表第k次，第k-1次，第k-2次迭代。令：

其中代表迭代的方向。松弛因子?籽表示迭代的步長。?籽的選擇十分重要。同一個(gè)算法只改變?籽的值，迭代收斂的速度變化如圖1所示。

圖1  松弛因子?籽對迭代收縮的影響

2.3 平行因子的增強(qiáng)加權(quán)目標(biāo)函數(shù)
       平行因子分解模型同獨(dú)立分量分析模型一樣，具有置換不確定性和排列不確定性。為了有效地解決這個(gè)問題而不犧牲算法的收斂性，本文采用如下收斂函數(shù)：

       其中隨著迭代次數(shù)的增加?著趨于0。I表示與XJK×I相同維數(shù)的單位矩陣。式(15)可以寫為：

       其中JK×I維矩陣T3、T2、T1和T0分別表示為：

       上標(biāo)k和k-2為了簡便已省略。定義Vec為矩陣矢量化符號，例如有矩陣A∈CI×J，則：

       則等式（16）等效于

       其中4×1維矢量代表共軛轉(zhuǎn)置，式(18)對于復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)都適用[7]。IJK×4維矩陣T分別由T3、T2、T1和T0的列矢量組合而成，可以表示為：

3 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)：分離混合語音的混合矩陣
       本節(jié)通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)對本文算法(SO-WALS-ELS)與SOBIUM算法的性能做比較?；旌暇仃嚬烙?jì)的相對誤差公式為：

其中，。假設(shè)它們的列向量均已單位化且消除了排列順序的不確定性。
       實(shí)驗(yàn)中采用4路獨(dú)立源信號混合成3路觀測信號為例，4路語音從語音庫中隨機(jī)選取，采樣率為16 kHz，取160 000點(diǎn)，混合方式為瞬時(shí)混合，H為混合矩陣。圖2為源信號，圖3為混合信號，圖4為分離信號，圖5為本文算法與SOBIUM算法的對比圖。

圖2  源信號

圖3  混合信號

圖4  分離信號

    從圖2～圖5可以看出，改進(jìn)的算法分離出了大概原始信號，但分離信號的順序和極性都發(fā)生了變化，這也是目前平行因子分解尚無法解決的問題。
   

圖5  本文算法與SOBIUM算法的對比圖

       根據(jù)公式，改進(jìn)前的算法相對誤差為0.055 9，改進(jìn)后的相對誤差為0.029 8。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，改進(jìn)后的方法比原方法具有更快的收斂速度，并且更精確。
4 結(jié)論
       本文提出了一種基于增強(qiáng)加權(quán)最小二乘法的欠定混合矩陣分離的新算法，適用于非平穩(wěn)信號。首先，該算法將接收信號的空間協(xié)方差矩陣疊加成三階張量，然后再對此三階張量進(jìn)行平行因子分解，最后利用增強(qiáng)加權(quán)最小二乘法完成混合矩陣估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的算法具有比SOBIUM算法更好的分離效果和更好的魯棒性，而且實(shí)現(xiàn)簡單，可滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。
參考文獻(xiàn)
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