摘 要： 根據理想導體的邊界條件建立線、面連接結構的電場積分方程。該積分方程運用矩量法直接進行計算時，隨著電尺寸增大，計算量和存儲量就會迅速增加，進而降低了求解的效率。為了降低計算量和存儲量，運用H2矩陣方法的可容許條件將阻抗矩陣元素劃分為遠區場的矩陣塊和近區場的矩陣塊。近區場的矩陣塊直接用矩量法計算并進行存儲，遠區場的矩陣塊通過H2矩陣的層間插值的方法進行處理并存儲，從而有效地降低了計算量和存儲量。
關鍵詞： MoM；H2矩陣；電場積分方程
0 引言
實際工程問題中，常常遇到線天線與平臺相連的情況（例如飛機、輪船、手機上的天線等），于是求解這類的電場積分方程問題具有非常重要的意義。
可是運用矩量法（MoM）[1]直接求解計算該積分方程時，隨著目標電尺寸增大，計算量和存儲量就會迅速增加，進而降低了求解的效率。隨著電磁數值計算的發展，陸續地提出了不少快速算法，例如FMM[2]、MLFMA[3]、CG-FFT以及H-Matrix[4-5]等，雖然這些算法中最好的已經能夠將計算量和存儲量從最初的O（N2）和O（N3）的數量級降低到O（NlogN）的數量級，但是這并不是最理想的情況，當未知量N繼續增大時，O（NlogN）的數量級還是很驚人的。于是本文通過結合H2-Matrix[6]算法實現將數量級降低到O（N）線性階的關系。
1 線面連接結構的積分方程的構建
空間中任意一點的散射電場Es（r）是由線面連接結構的面電流密度Js（r）和線電流密度Jw（r）二者綜合作用產生的，表達式為：
其中，A（r）表示磁矢量位；S，W，J，分別表示面、線、連接點三種情況；G（r，r′）表示三維格林函數；k是自由空間波數；ρ（r）表示感應電荷密度；r，r′分別表示場點和源點。
理想導體表面的切向電場邊界條件為：
其中，為單位切向矢量。
將式（1）代入式（2）得到：
2 H 2矩陣求解積分方程
式（3）中的未知量Jγ（r）可以用一組線性不相關的基函數fnγ（r）展開，理想導體的表面部分選用RWG基函數[7]，導線部分選用三角基函數，而線-面連接點選用連接基函數[8]，然后運用伽略金法得到矩陣形式ZI=V的積分方程如下：
ZSS ZSW ZSJZWS ZWW ZWJZJS ZJS ZJJ·ISIWIJ=ESEWEJ（4）
對于式（4）中的阻抗矩陣Z中的元素運用可容性條件[5]將其劃分為近區塊和遠區塊。
近區塊中的阻抗矩陣元素是不可容的，直接采用矩量法進行計算。
而對于遠區塊中可容的阻抗矩陣元素運用H2矩陣方法計算。遠區塊的核函數-格林函數采用Lagrange多項式[9]進行退化核處理。于是式（3）中的核函數G（r，r′）可以寫成如下形式：
其中，相應的Lagrange多項式，Kt和Ks為相應的插值點個數。將式（5）帶入阻抗元素表達式可得
這就意味著只需要存儲葉子簇E矩陣Vt并且使用轉移矩陣E就可以精確地表示所有的簇樹，因為轉移矩陣只需要k（t′）k（t）個存儲單元，而矩陣Vt需要tgk（t）個存儲單元，k（t）=t，因此H2矩陣的嵌套結構有效節省了存儲量。從而使H2矩陣的計算量和存儲量近似達到線性階O（N）。
下面就運用存儲量小、步收斂性、穩定性高的共軛梯度迭代法[10-12]求解矩陣-向量方程，得出感應電流。
3 數值算例
算例1 為了驗證矩量法結合H2矩陣方法的正確性，首先計算了頻率為300 MHz的均勻平面波，它沿θ=0°，φ=0°入射到半徑為0.8λ的金屬球上，其中散射方向為θ=0°~180°，φ=0°。通過對兩種計算方法結果的比較（如圖1所示）可以判斷出H2矩陣方法的正確性。
算例2 電磁波頻率f=300 MHz，輻射方向為θ=0°~180°，激勵采用連接點饋電，分別計算了0.6λ~ 2.8λ，H2矩陣算法與MoM分別計算時存儲量隨未知量的變化，以及阻抗矩陣元素計算時間量隨未知量的變化，結果如圖2和圖3所示。從圖2、圖3可以看出，H2矩陣算法不管是阻抗矩陣元素的求解時間還是總的程序求解時間都明顯比MoM要少，并且可以看出H2矩陣算法的計算量隨未知量的變化近似呈線性階O（N）的增長趨勢。
圖4給出了H2矩陣算法與矩量法求解電場積方程所需存儲量隨未知量變化的曲線圖。由圖4可知，MoM計算時所需的存儲量隨著未知量的變化呈O（N2）的關系迅速增加，而H2矩陣所需的存儲量與未知量之間的關系呈線性階O（N）的變化趨勢。
4 結論
本文采用H2矩陣算法計算電場積分方程，通過傳遞矩陣的嵌套方法能夠有效地將計算所需的存儲量和計算量近似降低到線性階O（N）。同時H2矩陣算法對模型并沒有具體的要求，可以推廣到求解任意導體線面結構的模型。
參考文獻
[1] GIBSON W C. The method of moments in electromagnetics[M]. CRC Press， 2007.
[2] CHENG H， GREENGARD L， ROKHLIN V. A fast adaptive multipole algorithm in three dimensions[J]. Journal of Computational Physics， 1999， 155（2）： 468-498.
[3] ROKHLIN V. Rapid solution of integral equations of scattering theory in two dimensions[J]. Journal of Computational Physics， 1990， 86（2）： 414-439.
[4] HACKBUSCH W. A sparse matrix arithmetic based on H-Matrices. Part I： introduction to H-Matrices[J]. Computing， 1999， 62（2）：89-108.
[5] HACKBUSCH W， KHOROMSKIJ B N. A Sparse-matrix arithmetic[J]. Computing， 2000， 64（1）： 21-47.
[6] B?魻RM S. H2-matrices-multilevel methods for the approximation of integral operators[J]. Computing and Visualization in Science， 2004，7（3-4）：173-181.
[7] RAO S， WILTON D， GLISSON A. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1982，30（3）：409-418.
[8] HWU S U， WILTON D R， RAO S M. Electromagnetic scattering and radiation by arbitrary conducting wire/surface configurations[C]. IEEE Society International Symposium on Antennas and Propagation， Syracuse， NY， USA， 1988， 2：890-893.
[9] 唐松生，隋樹林.拉格朗日插值多項式[J].青島化工學院學報，1992（4）：101-105.
[10] 王學忠，黃廷祝，李良，等.H-矩陣方程組的預條件迭代法[J].計算數學，2007，29（1）：89-98.
[11] 鄭麗.幾種共軛梯度法的研究[D].重慶：重慶大學，2009.
[12] 張穎.有關共軛梯度法的一些研究[D].大連：大連理工大學，2012.