0 引言

    Arikan提出的極化碼^[1]是一種可以理論證明在任意二進制輸入離散無記憶信道下容量可達的碼。該碼自被發(fā)明以來一直引起廣泛關注和研究，相關的成果也不斷涌現(xiàn)，這些研究集中在極化碼的容量限^[2-4]、極化碼構造^[5]以及譯碼^[6-7]等方面。

    極化碼是一類信道特定碼，即不同的信道參數(shù)具有不同的極化碼，因此如何構造極化碼對于所使用的極化碼來說至關重要。通常情況下，除了二進制刪除信道 (Binary Erasure Channel，BEC)，精確的極化碼構造具有很高的復雜度。Arikan在文獻[1]提出基于蒙特卡洛仿真的方法實現(xiàn)極化碼的構造，而文獻[5]提出一種基于密度進化^[8]的極化方法，該方法無論在復雜度還是性能方面相比蒙特卡洛的方法都具有一定的優(yōu)勢。

    然而，目前有關基于密度進化的方法還只能在二進制輸入離散無記憶信道中進行，對于多進制，特別是基于高階調制的信道并沒有特別好的方法。這是由于在高階調制中，每個符號對應的比特出錯概率不相同[9]，而且出錯概率會隨著發(fā)送符號的不同而改變。因此，如果要將極化碼直接使用高階調制進行傳輸，則極化碼的構造過程也隨著碼字變化而變化。為了解決這個問題，本文提出一種基于平行信道的方法，將高階調制極化碼的構造問題化簡為一般的二進制輸入信道的極化碼的構造問題，巧妙地避免了對高階調制符號直接進行極化碼構造帶來的困難。當然，本文方法與文獻[10-11]中提出平行信道概念有本質的不同，文獻[10]提出利用極化碼在平行信道間進行編碼以實現(xiàn)發(fā)射機在未知信道狀態(tài)信息情況下達到平行信道容量的目的，文獻[11]則研究在發(fā)射端已知不同信道的狀態(tài)信息情況下如何實現(xiàn)平行信道傳輸，而本文中提出的方法利用傳統(tǒng)的平行信道理論無法解決。

    本文針對兩類最常見的高階調制：相移鍵控(Phase-Shift Keying，PSK)和正交幅度調制(Quadrature Amplitude Modulation，QAM)開展研究。對于PSK重點研究最常用的8-PSK，而QAM調制可以分解成兩個正交的脈沖幅度調制 (Pulse Amplitude Modulation，PAM)^[12]，所以主要以PAM作為研究對象，PAM調制結果可以自然延伸到QAM調制。另外，格雷映射是調制中最常用的映射方式，因此本文中位到符號的映射全部采用了格雷映射。

1 高階調制下的極化碼構造

1.1 8-PSK調制

    圖1給出了基于一種格雷映射的8-PSK星座圖。圖1中所有星座點都均勻地分布在一個單位圓上，定義8-PSK的每個星座點對應的比特序列為b₃b₂b₁。假定本文中的高階調制都經過一個均值為0、方差為N₀的AWGN信道。下面將分析星座點對應比特序列的出錯概率。

    對于高階調制，當信道信噪比較高時，PSK的某個比特出錯概率主要由該比特的取值相反且最近的星座點之間的歐氏距離d_min決定^[12-13]，且該比特的出錯概率可以表示為：

其中，Q(x)為Q函數(shù)^[12]，E_b/N₀表示單位比特的信噪比。對于b₁ bit，由于采用格雷映射，因此，總是可以從相鄰星座點中找到與發(fā)送b₁相反的星座點，因此，無論b₁為何值，最小歐式距離都是圖中的D₁。對于b₂ bit，則要分兩種情況，一種是當b₁=0時，從圖1中可以看出，其出錯的最小歐式距離為D₂，如發(fā)送星座點為000，其最易出錯星座點為010，即最小歐式距離為D₂(因為已知b₁=0，所以不可能錯成011)；另一種是當b₁=1時，從圖中可以看出，其出錯的最小歐式距離為D₁，如發(fā)送星座點為001，其最易出錯星座點為011，即最小歐式距離為D₁。同理，對于b₃ bit，它與b₂情況恰好相反，即b₁=0時，最小出錯概率為D₁，而b₁=1時，最小歐式距離為D₂。其中D₁=2sin(π/8)，D₂=2sin(3π/8)，并根據(jù)文獻[12]得出D₁和D₂所對應的二進制輸入的AWGN信道的等效噪聲方差分別為：

1.2 M-PAM調制

對于M-PAM調制，也可以像8-PSK調制一樣等效成多個噪聲固定的平行信道。假設基于一種格雷映射的M-PAM的星座點集合為{S_i}，其中i=0，1，2，…，M-1，M=2^m。假定M-PAM的星座點按照下標從小到大順序排列，每個星座點與相鄰星座點歐氏距離相等，均為2d，星座點對應的比特序列表示為b_mb_m-1…b₂ b₁，則該星座圖有如下規(guī)則：

    (1)M-PAM可以與8-PSK一樣劃分出若干不同的二進制輸入的AWGN信道，且等效信道有M/2種。將這M/2種等效信道按照對應的M/2種歐氏距離從小到大的順序排列，并將排序后的第k個等效信道對應的歐氏距離記為D_k，k=1，2，…，M/2，則D_k可以表示為：

    (2)對應任意一個比特序列中的b_j，j=1,2，…，m，將會經過第1到2^j-1個等效信道中的一種。

    (3)假設b_j選擇的是第l個等效信道，則當b_j=0時，選擇第(2^j-1+l)個等效信道作為b_j+1的信道，而當b_j=1時，則選擇第(2^j-1-l+1)個等效信道作為b_j+1的信道。

    依據(jù)上述規(guī)律，可以將M-QAM調制等效成多個具有固定信噪比的二進制輸入AWGN信道，整個過程以遞歸的方式進行。首先根據(jù)規(guī)則(2)先確定b₁的信道，由于該情況下只有一種信道k=1，相應噪聲方差為；接著確定b₂ bit的信道，根據(jù)規(guī)則(3)及b₁的取值不同，b₂有兩條可選的信道：當b₁=0時候，選擇第2個信道，當b₁=1時，選擇第1信道；以此類推。

    M-PAM方案的發(fā)射端與接收端處理過程基本與8-PSK方案保持一致，但需要注意兩點：(1)與8-PSK情況一樣，低比特除了承載信息之外，還要為高比特提供選擇信道的信息，因此，接收端對于接收可靠性要求很高，本方案中是采用譯碼糾錯后的低比特信息作為高比特選擇信道的信息，這就要求一個調制符號中的每一個比特都要單獨編碼，因此，需要的編碼器的總數(shù)為(2)假定調制符號個數(shù)為N，根據(jù)前一點結論，則一個符號內第j bit需要編譯碼器個數(shù)確定為2^j-1個，但該N bit碼元具體分配到哪個信道傳輸則由低比特隨機確定的，這會造成每個編碼器的碼長不一致。為了解決這個問題，提出一種基于比特翻轉的方法來克服碼長不一致造成的影響。

    該方法的基本思想是保持每個比特對應的各個編碼器的碼長不變，如：對應b_j bit，該bit對應的2^j-1個編碼器的碼長都為N/(2^j-1)，這樣帶來后果是有可能出現(xiàn)部分編碼器輸出的碼元不能在按照上述規(guī)則計算出的噪聲方差的信道上傳輸。該情況分為兩種，一種是本來應該在高噪聲方差信道上傳輸?shù)拇a元被放在低噪聲方差信道上傳輸，另一種則相反，應在低噪聲方差傳輸?shù)拇a元被放在高噪聲方差信道上傳輸。總體上，前一種情況會使該碼性能惡化嚴重，后一種情況會使該碼性能略微變好。為此，進一步采取方法，通過控制碼元出現(xiàn)概率，讓兩種情況中前一種情況不出現(xiàn)或盡量低概率出現(xiàn)。對于4-PAM調制，如果b₁中“0”的個數(shù)比“1”多，則b₂就會出現(xiàn)后一種情況，否則，就會出現(xiàn)前一種情況。另一方面，由于極化編碼時最后一個信息比特參與了所有碼元生成的過程，改變該比特的值，就相當于對整個碼字實現(xiàn)了一次比特翻轉，因此可以通過控制信息比特最后一個比特值(該比特將不再用來傳輸信息)來調節(jié)b₁中“1”和“0”個數(shù)，使得b₂只出現(xiàn)后一種情況。

2 仿真結果分析

    首先分析8-PSK調制時極化碼的性能。如圖3所示，極化碼的碼長分為N=256和N=512兩種情況，根據(jù)公式(2)計算出兩種等效噪聲方差，分別為6.828 4 N₀和1.171 6 N₀，其中N₀根據(jù)仿真需要來設定，并選擇b₁、b₂和b3碼率為0.51、0.51、0.98，平均吞吐量為2 bit/符號，然后依據(jù)這些參數(shù)利用文獻[5]的方法進行極化碼的構造。

    由圖3可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號的正交相移鍵控(QPSK)比，兩個碼在誤碼率都保持在10^-4時，分別有1.9 dB和2.4 dB的性能增益。另外，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C₁(傳輸b₁的極化碼記作C₁)和依靠譯碼器接收結果的C₁兩種情況的性能對比，從圖3可以看出，非理想情況與理想情況的性能差異都在0.3 dB以內，性能惡化不是很嚴重。

    圖4給出了采用16-QAM調制時候(兩路4-PAM)極化碼的誤碼率性能，對于每個4-PAM調制，極化碼的碼長分為N=256和N=512兩種情況，根據(jù)式(3)、式(4)可以算出其兩種等效噪聲方差為N₀和0.111 1 N₀，其中d=1。選擇b₁碼率為0.42，b₂是由兩個碼長為N/2的極化碼組成，碼率分別為0.38和0.78，此時一個4-PAM的平均吞吐量為1 bit/符號。

    由圖4可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號的QPSK相比，在誤碼率為2×10^-5時，其增益分別有1.3 dB和1.8 dB。同樣，在圖4中，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C₁和依靠譯碼器接收結果的C₁兩種情況的性能對比，并且，性能惡化也不是很嚴重。

3 結論

    本文先是分析了格雷映射下PSK調制和PAM/QAM調制星座圖的特點，并根據(jù)各自特點，得出了可以將高階調制信道分解成多個平行的并具有固定噪聲功率的二進制輸入子信道的結論，并利用此結論，將高階調制極化碼的構造問題轉化為一般的二進制輸入信道的極化碼的構造問題，從而避免了傳統(tǒng)方法在高階調制時候無法確定信道噪聲功率的問題，實現(xiàn)了高階調制時的極化碼的構造。本文最后還針對PSK調制和QAM調制在采用推薦方法后的性能進行了仿真，仿真結果也表明了采用推薦方法可以帶來較為顯著的性能提升。

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