謝宇迪，蔣新昕

　?。ㄟ|寧師范大學 數學學院 ,遼寧 大連116029）

       摘要：給出一類在非均勻節點情形下帶參數的三角B樣條基函數，討論了這類基函數的性質以及在重節點情形時的變化,并利用這類基函數構造了相應的三角B樣條曲線，這類曲線具有與二次非均勻B樣條曲線相似的性質。在控制頂點不變的情況下，可以通過改變形狀參數取值來調節曲線的形狀。此外，它還能精確表示圓、橢圓等曲線。

　　關鍵詞：非均勻B樣條；基函數；曲線設計

　　中圖分類號：TP391文獻標識碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.07.014

　　引用格式：謝宇迪，蔣新昕.非均勻節點情形下的一類三角B樣條曲線［J］.微型機與應用，2017,36（7）：46-49.

0引言

　　三角樣條曲線在計算機輔助幾何設計中被廣泛地應用［1］，SCHOENBERG I J［2］首次提出三角樣條的概念, 韓旭里教授在三角樣條函數的研究中，提出并討論了分段的二次三角多項式曲線、三次三角多項式曲線及帶有參數的二次三角多項式曲線［35］的性質和應用 ；文獻［6］提出了k(k≥2)階的帶形狀參數三角多項式均勻B樣條曲線，可以精確表示圓、橢圓等一些曲線；文獻［7］提出了帶多形狀參數的非均勻三角多項式曲線，它是同類型單形狀參數曲線的推廣。

　　本文給出了另一類基于四點分段的帶參數非均勻二次三角B樣條曲線，當所有節點等距時，此類曲線即成為文獻［8］中的均勻二階三角B樣條曲線，對于給定控制點，利用參數的不同取值可以局部或整體地控制曲線形狀，而無須通過改變控制點調整曲線的形狀，此外，還給出了該曲線表示橢圓和圓的方法。通過實例表明，所給曲線具有結構簡單、使用靈活的優點，為曲線設計提供了一種有效的方法。

1帶形狀參數二階三角B樣條基函數

　　定義1任給節點u0<u1<...<un+4，Δui=ui+1－ui，稱U={u0 ,u1,...un+4}為節點向量，設－1≤λi,μi≤1，則稱：

　　為第i個帶形狀參數μi,λi+1,μi+2,λi+3的非均勻二階三角B樣條基函數。其中

　　性質4：在實際應用中有時需要利用重節點技術，與單形狀參數情況類似，當基函數的節點重數k≤4時，這時只要把對應的區間縮小為0，并去掉基函數的相應段即可。例如當ui+3=ui+4時，Δui+3=0，進行如下定義：

　　容易證明重節點時多形狀參數的基函數的連續性有如下定理：

　　定理1如果u=uj是基函數bi(u)的k(k=2,3,4;j=i+1,i+2,i+3,i+4)重節點,則基函數的支撐區間從4減少為5-k段，k=2,3時基函數連續，k=4時不連續。

　　圖1表示重節點時的基函數，這里的節點u=0為三重節點，可知由于參數的取值不同，多形狀參數的二次三角多項式基函數（虛線）呈現不對稱，單形狀參數的基函數（實線）對稱。

2基函數的連續性

　　定理2設節點向量U={u0 ,u1,...un+4}滿足u0<u1<...<un+4，則由式（1）定義的基函數bj(u)∈C1(－∞,+∞)。

　　證明：顯然bi(u+i)=0，b′i(u+i)=0，bi(u－i+4)=0，b′i(u－i+4)=0，這里僅討論在u=ui+1處的連續性，在u=ui+2，u=ui+3處可以采用同樣的方法處理。

　　所以該定理的結論成立。

　　圖2表示均勻節點下的基函數的圖像。其中實線表示形狀參數λi=μi=1時 ，即單形狀參數的情形；虛線表示均勻節點下多形狀參數的基函數圖像，虛線對應的λi=（0.4,1,1,0.8,0.3,0），i=1,2,3,4,5 ;μi=(0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1),i=0,1,…4。

　　圖3表示形狀參數λi、μi對非均勻節點的基函數的影響。其中節點向量為U={0,2,5,6,8,12,13,15,20,27}，實線表示單形狀參數的基函數圖像，虛線表示多形狀參數的基函數圖像，形狀參數的取值與圖2相同。由此可見，多參數對基函數的影響使其左右發生變化，故可作局部調控。

3二次三角B樣條曲線

　　定義2任給R2或R3中的控制點p0,p1,...pn，節點向量 U=(u0,u1,...,un+4)及形狀參數－1<λi,μi≤1，則：

　　稱為多形狀參數的二次非均勻三角B樣條曲線，其中bi(u)由式（1）所定義。 當ui<ui+1（i=2,3,…n）時，曲線r(u)對應于［ui,ui+1］上的一段曲線可以表示為：

　　由基函數的定義可知，式（4）定義的曲線實際上含有4個形狀參數μi、λi+1、μi－1、λi，利用這些參數可以達到整體及局部可調，以下分兩種情況討論：

　　（1）當μi=λi=μi－1=λi+1=μ時，即為單參數曲線，αi、βi與形狀參數無關，μ增大時，曲線越靠近線段Pi－2Pi－1，μ起整體調控的作用。圖4的曲線從上到下μ=1、0.5、0。

　　（2）當λi≠μi－1且μi≠λi+1時，這時αi、βi與形狀參數有關，當λi=－1，μi=－1 時曲線段為直線段Pi－3Pi。圖5中,曲線2的μ1=－0.5,λ2=0.8,μ3=－1,λ4=0.2,可見曲線右端變而左端不變；曲線3的μ1=1,λ2=－1,μ3=1,λ4=0.5，曲線左端變而右端不變；曲線1參數取μ1=0.5,λ2=λ4=0.8,μ3=－1，可見多參數比單參數更具靈活可調控性。

4橢圓及整圓的表示

　　定理3如果給定4個控制頂點Pi－3(－a,－b)，Pi－2(－a,b)，Pi－1(a,b)，Pi(a,－b)，其中a、b是均不為0的實數，節點等距，且令λi=μi=0，當u∈［ui,ui+1］時，ri(u) 為一段橢圓弧。

　　證明： 根據式（4）

　　ri(u)=βi4(1－costi)Pi－3+［12－αi4(1－sinti)］pi－2+

　?。?2－βi4(1－costi)］pi－1+αi4(1－sinti)pi

　　經計算，有

　　這即為橢圓的四分之一參數方程。

　　推論1對于二次三角B樣條曲線，如果控制頂點為P0(－a,－b),P1(－a,b),P2(a,－b)，P3(a,－b)，P4(－a,－b)，P5(－a,b)，P6(a,b)，則ri(u) 為一段橢圓。若a=b，則為整圓。圖6為橢圓?！?/p>

5實例應用

　　開區間和閉曲線的構造是曲線設計中的基本內容，為保證生成開的二次三角B樣條曲線，只要令p0=2p1－p2，pn+1=2pn－pn－1 ，可構造插值于p1和pn且在u1和un處分別以p2－p1和pn－pn－1為切向量的開三角B樣條曲線。圖7表示單形狀參數，λi=μi=0,0.5;圖8表示多形狀參數，實線對應λi=(0.4,0,0,0,－0.5,0,0.8)，i=2,3,...,8，μi=(0.5,0.8,0,2,0.4,0.5,－0.2,0)，i=1,2,...,7。

　　為了生成閉的二次三角B樣條曲線，可增設控制點pn+1+j=pj(j=0,1,2)。令節點步長Δun+1+j=Δuj(j=0,1,2,3)，及形狀參數λn+1+j=λj，μn+1+j=μj,(j=0,1,2,3)，于是閉曲線的表達式可寫成r(u)=∑n+3i=0bi(u)pi,u∈［u3,un+3］。圖9表示單形狀參數下的閉曲線，λ=μ=0、0.5、1，其中實線為單形狀參數λ=μ=0；圖10表示多形狀參數下的閉曲線，其中實線中的λi,μi與圖8一樣。

6結論

　　本文給出了在非均勻節點情形下多參數的一類二階三角B-樣條曲線，該曲線是基于四點分段，即曲線每一段只與4個控制點有關。同時它也具有二次B樣條曲線的許多重要性質，如連續性、凸包性、幾何不變性等。并且通過參數的取值不同可以達到整體或局部形狀調控，應用重節點的技巧可以生成以此類基函數構造的開曲線和閉曲線。此外，它還可以表示橢圓及圓等圓錐曲線。

　　參考文獻

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