0 引言
    在無線通信系統(tǒng)中天線陣列可以用來提升系統(tǒng)容量和信號質(zhì)量，所以角度參數(shù)對天線陣列性能的影響很重要。波達(dá)信號的角域包括水平方位到達(dá)角（Azimuth of Arrival，AOA）和俯仰角（Elevation of Arrival，EOA）。文獻(xiàn)[1]中研究包含三維(three Dimensional，3D)天線陣列方法，假設(shè)方位到達(dá)角AOA在[0，2π]上均勻分布，仰角則是不均勻地分布在水平面上。文獻(xiàn)[1]中沒有給出與水平方位到達(dá)角AOA、俯仰角EOA、天線陣列幾何相關(guān)的閉合解析式。文獻(xiàn)[2]中研究表明大約65%的入射信號相對于水平方位角平面仰角大于10°。文獻(xiàn)[3]中提到室內(nèi)到室外幾種環(huán)境中平均仰角擴(kuò)展為9°。文獻(xiàn)[4]研究表明均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）和均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）下均勻分布和拉普拉斯分布的到達(dá)角概率分布函數(shù)和空間相關(guān)性函數(shù)，結(jié)果受限于方位平面。本文將研究方位到達(dá)角AOA和仰角EOA在均勻矩形陣列（Uniform Rectangular Array，URA）下對空間相關(guān)性的影響。
    本文介紹了定向信道模型和均勻矩形陣列導(dǎo)向矢量（Steer Vector，SV），推導(dǎo)出在3D均勻矩形陣列多種功率譜分布下空間衰落相關(guān)性的封閉形式表達(dá)式，分析AOA、EOA、方位角擴(kuò)展(Azimuth Spread，AS)、俯仰角擴(kuò)展(Elevation Spread，ES)及陣元間距對相關(guān)性的影響。采用多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法對MIMO系統(tǒng)波達(dá)信號方向進(jìn)行空間譜估計，推導(dǎo)了多種天線陣列空間譜通用公式。本文分析可以應(yīng)用于多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)容量分析以及MIMO系統(tǒng)的波達(dá)信號方向（Direction of Arrival，DOA）估計。
1 多天線信道模型
    使用非頻率選擇性瑞利衰落信道模型分析天線陣列性能。信道脈沖響應(yīng)表示為[5]：

圖1  均勻線性陣列URA三維空間接收模型

2 均勻矩形陣列空間衰落相關(guān)性
    下面討論在天線陣列為3D均勻矩形陣列時，均勻分布和高斯分布情況下的空間相關(guān)性。在均勻矩形陣列URA下，(n，p)和(m，q)兩陣元之間空間相關(guān)性表示為：

2.1 均勻分布情況下空間衰落相關(guān)性
    假設(shè)波達(dá)信號水平方位角AOA和俯仰角EOA是均勻角能量分布函數(shù)。其函數(shù)表達(dá)式為：

2.2 高斯分布情況下空間衰落相關(guān)性
    假設(shè)波達(dá)信號水平方位角AOA和俯仰角EOA遵循高斯角能量分布[7]。其函數(shù)表達(dá)式為：

3 波達(dá)信號空間譜分析
    空間譜是陣列信號處理中的重要概念，是信號在空間各個方向上的能量分布。本文利用MUSIC算法來分析URA下入射信號空間譜與其他天線陣列比較情況。MUSIC算法是利用接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分離信號子空間和噪聲子空間，通過正交性來構(gòu)成空間掃描譜估計參數(shù)。假設(shè)有n信號入射到陣元數(shù)為p的天線陣列，n≤p，則其接收信號表達(dá)式為：

    式中，U_s是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而U_n是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。假設(shè)信號子空間與噪聲子空間正交，且波達(dá)信號為弱相關(guān)或不相關(guān)，通過MUSIC算法得到空間譜公式為[8]：

4 數(shù)值結(jié)果與分析

圖2  均勻分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關(guān)性的影響

    圖2為入射信號遵循均勻分布時，俯仰角EOA和陣元間距對陣元(1，1)和陣元(2，2)之間空間相關(guān)性的影響。設(shè)定，AS為定值時，取ES為不同值，比較兩個陣元之間相關(guān)性對于陣元間距的變化。隨著ES的增大，兩陣元間相關(guān)性隨之減小，隨著陣元間距的增大，空間相關(guān)性減小。

圖3  均勻分布下ES=0°時d/λ和AS對空間衰落相關(guān)性的影響

    圖3所示為方位到達(dá)角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關(guān)性的影響。設(shè)定取90°，ES為定值時，取AS為不同值，比較兩個陣元之間的相關(guān)性相對于陣元間距的變化。從圖中可以明顯看出，隨著AS的增大，兩陣元之間的相關(guān)性隨之減小，同樣隨著陣元間距的增大，空間相關(guān)性減小。

圖4  高斯分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關(guān)性的影響

    圖4所示為入射信號遵循高斯分布時，方位到達(dá)角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關(guān)性的影響。當(dāng)AS為0°時，取ES為不同值，比較兩個陣元之間的相關(guān)性相對于陣元間距的變化。從圖中可以看出隨著ES的增加空間相關(guān)性減小。

圖5  高斯分布下ES=0°時d/λ和ES對空間衰落相關(guān)性的影響

    如圖5所示，入射信號遵循高斯分布時，方位到達(dá)角AOA和陣元間距對兩陣元之間的空間相關(guān)性的影響。當(dāng)ES為0°時，取AS為不同值，可以看出隨著AS的增加，空間衰落相關(guān)性下降的更快，結(jié)論與均勻分布情況下得出的結(jié)論一致。

圖6  均勻線性陣列下空間譜

圖7  均勻圓形陣列下空間譜

圖8  均勻矩形陣列下空間譜

    如圖6～圖8所示為MIMO天線陣列在分別采用ULA、UCA和URA情況下的空間譜分析仿真結(jié)果。假設(shè)有9個天線陣元，ULA陣元間距為d=0.5λ，UCA陣元半徑r=0.5λ，URA陣元間距為d_x=d_y=0.5λ。在到達(dá)角參數(shù)Ф和θ取相同值的情況下，入射信號在三維空間中進(jìn)行定位時，會出現(xiàn)相位模糊情況。圖6所示ULA空間為非均勻性，方向選擇性強(qiáng)，所以波達(dá)信號的相位模糊比較嚴(yán)重，出現(xiàn)許多的MUSIC偽譜峰值。在圖7和圖8中可以看出，UCA和URA情況下相位模糊情況比ULA減弱，在θ角測向時可能出現(xiàn)一個偽譜峰值。所以分析空間譜時采用UCA和URA會得到更好的效果，趨向于無模糊定位。
5 結(jié)論
    本文推導(dǎo)了三維多徑信道中均勻矩形陣列URA在多種角能量分布下的空間衰落相關(guān)性解析公式，分析AOA、EOA、AS、ES以及陣元間距對空間衰落相關(guān)性的影響。采用多重信號分類MUSIC算法對MIMO系統(tǒng)波達(dá)信號方向進(jìn)行空間譜估計，推導(dǎo)了多種天線陣列空間譜通用公式。通過計算機(jī)程序模擬仿真驗證了分析結(jié)果，仿真結(jié)果表明方位角擴(kuò)展AS和仰角擴(kuò)展ES是天線相關(guān)性的主要決定因素，空間衰落相關(guān)性隨著AS和ES的增加而減小。當(dāng)AS和ES增加同樣角度時，在AS增加的情況下，空間衰落相關(guān)性下降的更快，表明了AS對空間相關(guān)性影響更大。仿真結(jié)果還表明，采用同樣的參數(shù)情況下估計MIMO系統(tǒng)空間譜，均勻矩形陣列URA相對于ULA和UCA更有優(yōu)勢。
參考文獻(xiàn)
[1] AULIN T.A modified model for the fading signal at a mobile radio channel[J].Vehicular Technology，IEEE Trans-actions on，1979，28(3)：182-203.
[2] KUCHAR A，ROSSI J P，BONEK E.Directional macro-cell channel characterization from urban measurements[J].Anten-nas and Propagation，IEEE Transactions on，2000，48(2)：137-146.
[3] KALLIOLA K，SULONEN K，LAITINEN H，et al.Angular power distribution and mean effective gain of mobile antenna in different propagation environ ments[J].Vehicular Technology，IEEE Transactions on，2002，51(5)：823-838.
[4] TSAI J A，BUEHRER R M，WOERNER B D.Spatial fading correlation function of circular antenna arrays with Laplacian energy distribution[J].IEEE Communications Letters，2002，6
(5)：178-180.[5] 周杰，陳靖峰，邱琳.三維空間MIMO信道接收天線陣列互耦效應(yīng)及系統(tǒng)容量分析[J].通信學(xué)報，2012，33(6)：1-10.
[6] YONG S K，THOMPSON J S.Three-dimensional spatial fading correlation models for compact MIMO receivers[J].Wireless Communications，IEEE Transactions on，2005，4(6)：2856-2869.
[7] ZHOU J，SASAKI S，MURAMATSU S．Spatial correlation functions for a circular antenna array and their applications in wireless communication system[J]．IEICE  Trans FUNDAM COMPUT SCI，2003，E86-A(7)：1716-1723.
[8] SALIB F，SEDDIK K G.Exploiting spatial spectrum holes in multiuser MIMO systems[C].Signals, Systems and Com-puters，2013 Asilomar Conference on.IEEE，2013：1865-1868.