摘 要： 壓縮感知理論是近年來針對稀疏信號提出的一種新的信號處理理論。該理論的主要創新之處在于對信號采樣和壓縮是同時進行的。測量矩陣是實現該創新點的關鍵步驟之一，其性能直接關系著信號能不能精確重構。利用行列式非零的對角矩陣的正交性，結合正交基線性表示理論，提出了一種新的更簡單的測量矩陣的構造方法。通過實驗仿真，驗證了新矩陣具有較好的性能。
關鍵詞： 壓縮感知；測量矩陣；對角陣；正交基線性表示
壓縮感知(compressed sensing）理論是一種對信號中包含的信息進行采樣的信號處理理論，旨在突破傳統奈奎斯特采樣定理關于對采樣帶寬的要求，并且實現信號采樣與壓縮同時進行，節省了帶寬與存儲資源，降低了硬件壓力，故一經提出，就受到了信號處理領域研究人員的廣泛關注。具體思路是：當信號具有稀疏性或可壓縮時，就可以映射到一個低維空間，獲取少量的信息采樣值，再通過特定重構算法恢復原信號。理論主要研究3個核心問題：信號稀疏表示、測量矩陣和重構算法。其中測量矩陣對信號的重建精度有著直接的影響，測量矩陣性能越好，重建信號與原信號間偏差越小，恢復度越高[1]。因此，研究測量矩陣的構造有很重要的現實意義。
1 壓縮感知理論簡介
設x是RN空間的一個N×1維列向量，若該向量中僅包含K個非零值，或者x在N維空間的某個變換基?追下的系數向量中僅有K個非零值，且K<<N，則稱x為K-稀疏信號或變換域ψ下的K-稀疏信號。這K個非零值和它們的位置可以表示信號x的全部信息。
測量矩陣對信號采樣與壓縮是通過用一個行數M遠小于列數N的M×N維測量矩陣Φ與信號x相乘，得到信號在該矩陣下的低維映射y實現的，只要M≥K，即可將信號x中所含的信息完全映射到y中去，同時完成對信號的采樣與壓縮。測量矩陣不僅要用于信號的采樣與壓縮，信號的重構過程同樣依賴于測量矩陣。CAND?魬S等在參考文獻[2]中指出只要測量矩陣滿足有限等距約束特性RIP(Restricted Isometry Principle)，即：
就能夠保證準確重建原信號。其中常數?著K稱為K階RIP常數，S為信號的稀疏表示。為了方便實際應用，參考文獻[3]給出了測量矩陣滿足式(1)的3個等價特征：(1)測量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值應大于一定的常數，即列向量滿足一定的線性獨立性；(2)測量矩陣的列向量要體現出某種類似噪聲的獨立隨機性；(3)滿足稀疏度的解是滿足l1范數最小的向量。
由于M<<N，所以不能直接通過求解測量過程的逆問題得到x。一般信號重建過程可以轉化為解l0范數下的最優化問題[4]。
2 基于正交基線性表示測量矩陣設計及對角陣
測量矩陣的設計主要是圍繞上文中RIP特性的3個等價特征設計的。目前研究的測量矩陣主要分為：(1)隨機測量矩陣，主要包括高斯隨機矩陣[5]、貝努利矩陣[6]等；(2)確定性測量矩陣，主要包括多項式矩陣[7]等；(3)部分隨機測量矩陣，包括部分哈達瑪矩陣[6]、托普利茲矩陣[8]、輪換矩陣[6]、廣義輪換矩陣[9]等；(4)基于正交基線性表示矩陣，如基于正交基線性表示的哈達瑪改進矩陣[10]。
基于正交基線性表示的哈達瑪改進矩陣（以下稱為改進的哈達瑪矩陣）即是用這種方式構成的測量矩陣。它的正交基選用的是哈達瑪矩陣。該方法為了克服哈達瑪矩陣對信號維數的限制，提出了可以先產生一個L×L維哈達瑪矩陣(L為大于M的最小的2的冪)，然后利用正交基線性表示法產生L×N維矩陣，再從中任取M行作為最終測量矩陣。此時，由于基于正交基線性表示測量矩陣間良好的列相關性是在L×L維哈達瑪矩陣上產生的，當M≠2K時，不能保證從M+1列開始之后的任何一列與前M列中的任意M-1個列向量線性無關；另外隨機取M行作為最終測量矩陣，一方面給硬件實現造成壓力，另一方面將不可避免地造成存儲資源的浪費,說明基于正交基線性表示的哈達瑪改進矩陣仍未能很好地解決維數所帶來的局限性。
3 仿真實驗結果
為了檢驗新方法構造矩陣的性能及相關理論的正確性，采用Matlab標準圖像庫中256×256 lena圖像進行仿真實驗。先用典型的sym8小波生成離散小波變換基對圖片進行稀疏處理，再分別用新矩陣、基于正交基線性表示的哈達瑪改進矩陣及一些常用測量矩陣對信號進行測量，最后選擇基于最小l0范數的正交匹配追蹤算法OMP[12](Orthogonal Matching Pursuit)對圖片進行重構。在M/N<0.5時，仿真結果如圖1所示。
由仿真圖可以看出，基于正交基線性表示的測量矩陣性能要優于其他常用測量矩陣，當壓縮比M/N=0.5時，新矩陣的PSNR（峰值信噪比）為30.287 2 dB，改進的哈達瑪矩陣為29.742 7 dB，而其他常用矩陣的PSNR均不到24 dB。另外分別比較壓縮比為0.1、0.2、0.3、0.4時新矩陣與改進的哈達瑪矩陣的PSNR值，可以看出，新矩陣的PSNR值均高于改進的哈達瑪矩陣值，尤其是在壓縮比為0.2時，差值達到了3 dB。圖2給出了在壓縮比為0.4時，新矩陣與改進的哈達瑪矩陣恢復性能對比，從視覺效果上能夠看出新矩陣能以更高的恢復率恢復出原始信號。
圖3給出了在壓縮比為0.5時，新矩陣恢復效果圖，與原始圖已經沒有多大差別，進一步驗證了新矩陣優良的性能。
本文旨在研究測量矩陣，在基于正交基線性表示矩陣理論的基礎上，結合對角矩陣的行向量和列向量之間良好的正交性，構造矩陣時沒有維數限制等性質，提出了一種新的測量矩陣構造方法，即基于對角陣線性表示測量矩陣。該矩陣可以盡最大可能保證列向量間的非相關性。實驗選用二維圖像進行仿真，并對多種測量矩陣進行實驗對比，實驗結果驗證了新矩陣的可行性與優越性。
參考文獻
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