0 引言

    網(wǎng)格參數(shù)化在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與數(shù)字幾何處理有著廣泛的應(yīng)用，例如紋理貼圖、細(xì)節(jié)映射、網(wǎng)格編輯、網(wǎng)格修復(fù)、重網(wǎng)格化、曲面擬合等。因?yàn)槿切尉W(wǎng)格擁有著簡(jiǎn)單的幾何特性，是網(wǎng)格曲面的一種主要表示形式，因此對(duì)于三角形網(wǎng)格的參數(shù)化也一直是參數(shù)化研究的熱點(diǎn)。三角形網(wǎng)格的參數(shù)化是建立在流形曲面與參數(shù)域之間的一一映射，三角形網(wǎng)格被映射到參數(shù)域?yàn)槎S平面的參數(shù)化，被稱(chēng)為平面參數(shù)化。

    1963年，TUTTE W T^[1]提出重心映射定理，證明了網(wǎng)格模型中，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為其鄰接頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)組合，這為網(wǎng)格參數(shù)化提供了理論基礎(chǔ)，基于這個(gè)定理，ECK M等人^[2]和FLOATER M S^[3]描述了一種簡(jiǎn)單的參數(shù)化方法，將每個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)表示為其相鄰頂點(diǎn)的凸組合。使用不同的權(quán)重設(shè)置，獲得了不同的參數(shù)化，著名的權(quán)值方法有余切權(quán)值和均值權(quán)值，然而，重心坐標(biāo)法要求網(wǎng)格的邊界固定在平面上的凸多邊形上，這是一種任意的方法，通常會(huì)導(dǎo)致明顯的失真。

    若三角形網(wǎng)格在映射前后邊長(zhǎng)發(fā)生了變化，稱(chēng)之為等距失真，若三角形網(wǎng)格在映射前后角度發(fā)生了變化，則將其稱(chēng)之為共形失真。為了衡量這些失真，一些扭曲度量函數(shù)相繼被提出，例如保形能量^[4]和MIPS能量^[5]，它們都是為保持映射前后的角度而設(shè)計(jì)的能量；格林-拉格朗日變形能量、ARAP能量^[6]，則要求映射為等距映射，保持映射前后的長(zhǎng)度。考慮到失真度量大多是高度非線性函數(shù)，因此開(kāi)始產(chǎn)生一些非線性的參數(shù)化方法，例如：基于角度的拍平化法^[7]及其改進(jìn)方法 ABF++^[8]、基于最小二乘的保角參數(shù)化^[4]、最等距參數(shù)化法^[5]、局部全局參數(shù)化方法^[6]等。

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作者信息:

高  晨

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230026)