傳統(tǒng)微弱信號檢測方法在檢測信噪比極低信號時(shí)效果很差[1]，而Duffing振子混沌系統(tǒng)由于具有對初值極端敏感、對噪聲具有較好免疫力等優(yōu)點(diǎn)，在檢測微弱信號時(shí)表現(xiàn)出良好效果。作為一種新的微弱信號檢測方法，混沌振子方法不是消除噪聲，而是從噪聲背景中提取信號，針對其獨(dú)特性可將其應(yīng)用到實(shí)際工程中，包括心電信號檢測[2]、GPS信號捕獲[3]、機(jī)電設(shè)備早期故障診斷[4]等方面。

　　本文在分析Duffing非線性動力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動特性基礎(chǔ)上，針對Duffing振子微弱信號檢測方法存在的問題，提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法。

1 理論分析

　　1.1 基于Duffing方程微弱信號檢測原理

　　選用連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)中Duffing振子作為研究對象，Duffing方程標(biāo)準(zhǔn)形式為[5]：

　　式(1)中，k為阻尼比，r為策動力振幅，w為策動力角頻率。

　　式(1)加入待測信號并寫成狀態(tài)方程形式為：

　　上式中為外部引入的湮沒在噪聲中的微弱正弦信號，h為待測正弦信號幅度，為待測信號與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置周期策動力信號頻率差， 為待測信號初始相位， n(t)為待測信號中混有的噪聲。

　　在Simulink仿真環(huán)境下由式(2)即可構(gòu)造出傳統(tǒng)的混沌振子檢測微弱信號的檢測模型。

　　1.2 Duffing系統(tǒng)混沌判據(jù)

　　傳統(tǒng)上用Lyapunov特性指數(shù)(LCE)確定系統(tǒng)從混沌態(tài)躍變到周期態(tài)的相變閾值rd，用梅爾尼科夫(Melnikov)函數(shù)進(jìn)行理論計(jì)算得到混沌閾值rc的粗略估計(jì)值[6]。Duffing方程的Melnikov函數(shù)形式如下：

　　1.3 高頻參數(shù)待測信號尺度變換

　　式(4)說明混沌閾值與周期策動力頻率有關(guān)，當(dāng)k=0.5時(shí)，其關(guān)系如圖1所示。可見當(dāng)系統(tǒng)阻尼比k固定時(shí)，在低頻段只需要很小幅度的驅(qū)動力就會使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌，而在高頻段時(shí)則需要較大的驅(qū)動力。另一方面，Duffing系統(tǒng)只有在低頻參數(shù)條件下有較好的動態(tài)特性和檢測效果，且Duffing振子檢測信號時(shí)，不同頻率待測信號對應(yīng)的相變閾值也不同，如果每次檢測過程都要搜索相變閾值，將大大增加檢測復(fù)雜度。

　　在處理工程信號時(shí)，文章對待測信號進(jìn)行二次采樣，即引入變尺度系數(shù)R，對待測信號進(jìn)行頻率/時(shí)間尺度變換。若待測信號角頻率為w，其采樣頻率為fs，則數(shù)值計(jì)算的步長為dt=1/fs。對檢測系統(tǒng)引入變尺度系數(shù)R相當(dāng)于將信號的時(shí)間間隔增大了R倍，相應(yīng)的信號角頻率被壓縮R倍后變?yōu)閣/R，此時(shí)數(shù)值計(jì)算步長變?yōu)閐t′=Rdt=R/fs。

2 自相關(guān)與小波變換聯(lián)合去噪

　　設(shè)已知頻率待測信號為：x(t)=s(t)+n(t),s(t)是周期信號，n(t)是均值為零的高斯白噪聲，信號自相關(guān)輸出為：

　　式(7)中，n′(t)是相關(guān)信號中混有的噪聲。

　　實(shí)際中由于積分時(shí)間不可能無限長，噪聲只能得到一定程度的抑制[7]，剩余噪聲可通過對相關(guān)后信號進(jìn)行小波閾值變換進(jìn)一步削弱。

　　小波閾值消噪過程中，信號經(jīng)過小波變換后，可以認(rèn)為由信號產(chǎn)生的小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值大，但數(shù)目較少，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)幅值小。因此，通過在不同尺度上選取一合適閾值，并將小于該閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于該閾值的小波系數(shù)，從而使信號中的噪聲得到有效抑制。最后進(jìn)行逆小波變換，得到去噪后的重構(gòu)信號。

3 Duffing系統(tǒng)偽哈密頓量

　　考慮平面微分動力系統(tǒng)：

　　則稱式(8)為平面哈密頓系統(tǒng)，其中H(x1,x2)稱為該系統(tǒng)的哈密頓量。

　　對于式(1)Duffing方程，不考慮阻尼項(xiàng)和策動力的影響，可以改寫為：

　　實(shí)際應(yīng)用中阻尼項(xiàng)和策動力對于系統(tǒng)的哈密頓量有一定影響，但對系統(tǒng)能量分布幾乎沒有影響，此時(shí)的哈密頓量為偽哈密頓量(PH)[8]。圖2為Duffing系統(tǒng)PH值分布情況，兩個(gè)鞍點(diǎn)處PH值最低，系統(tǒng)混沌特性越明顯PH值越低，大尺度周期狀態(tài)時(shí)PH值最高。

　　用下式構(gòu)造Duffing系統(tǒng)平均哈密頓量(APH)。

　　式(17)中，N為動力系統(tǒng)的時(shí)間序列長度，i為系統(tǒng)的第i個(gè)狀態(tài)。圖3是策動力為rcos(t)時(shí)，策動力幅值變化時(shí)Duffing系統(tǒng)APH值變化情況。基于圖3中APH值階躍型跳變特性來設(shè)定閾值，進(jìn)而判斷是否存在微弱信號。

4 仿真測試和分析

　　基于前面分析，提出如圖4所示基本原理檢測低信噪比微弱信號。

　　仿真環(huán)境下為試驗(yàn)待測信號，n(t)為均值為零的高斯白噪聲。檢測系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)為：系統(tǒng)初始狀態(tài)(x,0)=(0,0)， k=0.5, fs=10 000 Hz，h=0.000 3 V,w=200 rad/s，w=0,采用四階Runge-Kutta方法對Duffing方程進(jìn)行數(shù)值求解，數(shù)值計(jì)算步長為:

　　dt=1/fs=0.000 1         (13)

　　引入變尺度系數(shù)R=200,變換后信號角頻率w′=1 rad/s，則二次采樣頻率fs′=fs/R=500 Hz，數(shù)值計(jì)算步長dt′=Rdt=0.02。

　　圖5~圖7分別為-20 dB待測信號及此信號先后經(jīng)過自相關(guān)器和小波閾值變換后的輸出，從圖就能直觀看出兩次去噪過程均提高了待測信號信噪比。

　　本文算法采用信噪比改善因子SNIR衡量去噪效果，其計(jì)算式如下：

　　SNIR=SNRout-SNRin  (14)

　　式中：SNRin為輸入信噪比，SNRout為輸出信噪比。

　　圖8為不同輸入信噪比條件下的SNIR值，由圖可知，通過相關(guān)運(yùn)算可以抑制部分噪聲，對相關(guān)后信號進(jìn)行小波閾值變換，信噪比又有一定程度改善，且在一定范圍內(nèi)，輸入信號信噪比越低，這種改善越明顯，證明了本文方法的有效性。

　　若系統(tǒng)APH值用T表示，仿真得到閾值rd=0.827 856 7，數(shù)次驗(yàn)證后選APH值判決系統(tǒng)狀態(tài)的門限值為=0.35，則有：

　　實(shí)驗(yàn)中取t=100 時(shí)Lmax值作為最終系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定的Lmax值，實(shí)驗(yàn)得到表1~表3結(jié)果。

　　從表1~表3數(shù)據(jù)看出，基于偽哈密頓量和Lyapunov指數(shù)的系統(tǒng)狀態(tài)判別方法結(jié)果是一致的。另外，混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-10.5 dB, 相關(guān)-混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-35.5 dB，相關(guān)與小波變換聯(lián)合-混沌檢測系統(tǒng)能夠檢測的信噪比門限為-39 dB，由此可見本文檢測算法的有效性和優(yōu)越性。

　　實(shí)驗(yàn)得到，利用系統(tǒng)APH值判別狀態(tài)的平均計(jì)算時(shí)間為0.62 s，利用系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定時(shí)Lmax值判別狀態(tài)的平均計(jì)算時(shí)間為6.7 s。可見，APH值算法計(jì)算效率明顯高于Lyapunov特性指數(shù)算法。

　　本文提出基于偽哈密頓量的變尺度Duffing振子弱信號檢測方法，通過頻率/時(shí)間尺度變換把高頻信號轉(zhuǎn)換為固定角頻率1 rad/s的信號，方便了設(shè)置系統(tǒng)相變閾值，克服了傳統(tǒng)方法低頻參數(shù)信號的限制；搭建相關(guān)與小波閾值變換的聯(lián)合去噪系統(tǒng),極大程度地改善了信噪比，避免了噪聲對檢測結(jié)果的不利影響；構(gòu)造Duffing系統(tǒng)偽哈密頓量實(shí)時(shí)地表征系統(tǒng)動力學(xué)行為，解決了定量判斷系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)計(jì)算量大，效率低的難題。仿真分析驗(yàn)證了本文所提檢測方法的有效性和優(yōu)越性。

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